შეიძლება თუ არა, ოქრო არაფრისგან შევქმნათ? — მათემატიკური პარადოქსი ფიზიკის წინააღმდეგ

1989 წლის აპრილში ნიუ-იორკის ოქროს საერთაშორისო საბჭოში დიდი არეულობა დატრიალდა. ამის მიზეზი ალექსანდრე დიუდნი გახლდათ — დასავლეთ ონტარიოს უნივერსიტეტის მათემატიკოსი და კომპიუტერული მეცნიერი. მას Scientific American-ის სტატიაში სულ რაღაც 1 სვეტის ჩამატება დასჭირდა იმისთვის, რომ მთელი კაცობრიობა საფრთხის წინაშე დაეყენებინა.

საქმე ისაა, რომ ცოტა ხნით ადრე მისმა კოლეგამ, არლო ლიპოფმა, არაფრისგან ოქროს შექმნის გზა აღმოაჩინა. როგორც დიუდნიმ დაწერა: "ლიპოფის მტკიცება რეალურ მათემატიკურ შედეგს ემყარება, რომელიც ბანახ-ტარსკის პარადოქსის სახელითაა ცნობილი. მისი მიხედვით, გარკვეულ პირობებში შეგვიძლია მყარი სხეული რამდენიმე ნაწილად დავჭრათ, შემდეგ კი ამ ნაწილების შეერთებით ახალი მყარი სხეული მივიღოთ — თანაც იმაზე 2-ჯერ დიდი, ვიდრე თავდაპირველ მდგომარეობაში იყო".

ოქროს საბჭომ ამის საპასუხოდ იმავე ჟურნალში დაწერა, რომ ლიპოფის აღმოჩენის გასაჯაროების შემდეგ ცივილიზაციის ჩამოშლას უნდა ველოდეთ: "წლების განმავლობაში ვცდილობდით, რომ ბანახ-ტარსკის პარადოქსის შესახებ არავის გაეგო. ვიცოდით, რომ, თუ ხალხი ნაკლები ოქროსგან მეტი ოქროს შექმნის გზას აღმოაჩენდა, მსოფლიო ეკონომიკაზე ამას სავალალო ზეგავლენა ექნებოდა".

და მაინც, რამდენად რეალურია ლიპოფის აღმოჩენა? შესაძლებელია თუ არა, საგნის დანაწევრებამ და ხელმეორედ აწყობამ თავდაპირველზე 2-ჯერ დიდი ნივთი მოგვცეს? შეიძლება თუ არა, არაფრისგან შეიქმნას რაღაც?

მართალი ხართ, თუ ფიქრობთ, რომ ეს შეუძლებელია. არლო ლიპოფი სინამდვილეში არ არსებობდა. ეს სახელი "April fool-ის" (საპირველაპრილო ხუმრობის ამერიკული ანალოგი) ანაგრამაა. ბანახ-ტარსკის პარადოქსი რეალურია, მაგრამ მისი გამოყენებით ოქროს არაფრისგან გაჩენა შეუძლებელია.

ბანახ-ტარსკის პარადოქსი
მათემატიკაში მრავლადაა ადამიანური ინტუიციის საწინააღმდეგო, დამაბნეველი შედეგები, თუმცა ბანახ-ტარსკის პარადოქსი შეიძლება უფრო უცნაური გეჩვენოთ.

"ეს პარადოქსი ნებისმიერ ადამიანს შეუძლებლად მოეჩვენება", — ვკითხულობთ ექსპერიმენტული მათემატიკის პროფესორის, სტენ ვაგონის, წიგნში — "თუ მას დავუჯერებთ, შეგვიძლია ბარდის მარცვალი უფრო მცირე ნაწილებად დავჭრათ, მიღებული ნაწილების შეერთებით კი მზისხელა ბურთი მივიღოთ".

ასეთ უცნაურ შედეგამდე მხოლოდ ამდენადვე უჩვეულო მათემატიკა თუ მიგვიყვანს. მართლაც, პარადოქსი სიმრავლეთა თეორიული გეომეტრიიდან გამოიყვანეს. თუ ამ დარგის სახელი არაფერს გეუბნებათ, უბრალოდ იმის ცოდნაც საკმარისია, რომ სწორედ სიმრავლეთა თეორიამ მოგვცა ტოლობის "1 + 1 = 2" დასამტკიცებლად ასგვერდიანი მათემატიკური ფორმულები. გარდა ამისა, ეს დარგი უსასრულობებსაც იკვლევს.

უძველესი დროიდან ცნობილია, რომ უსასრულობის ცნებას უამრავ პარადოქსამდე მივყავართ. მაგალითად, წარმოიდგინეთ დადებითი მთელი რიცხვები (1, 2, 3, 4...). თითოეულ მათგანს კვადრატში აყვანილი საკუთარი რიცხვი შეესაბამება (1, 4, 9, 16...). ბევრი რიცხვი არცერთი რიცხვის კვადრატი არაა (2, 3, 5...), ამიტომ მეტი მთელი რიცხვი უნდა არსებობდეს, ვიდრე მათი კვადრატები. ამის მიუხედავად, აბსოლუტურად ყველა დადებით მთელ რიცხვს ერთი კვადრატი შეესაბამება.

გამოდის, იმის მიუხედავად, რომ ერთი შეხედვით ნაკლები კვადრატული რიცხვი უნდა არსებობდეს, მთელი რიცხვებისა და კვადრატების სიმრავლეები ტოლია და ორივე მათგანი უსასრულოა.

შეიძლება პარადოქსულად ჟღერს, მაგრამ ეს უბრალოდ უსასრულობის "გვერდითი ეფექტია". რიცხვთა ასეთ სიმრავლეებს მათემატიკოსები "თვლად უსასრულობას" უწოდებენ. ეს ნიშნავს, რომ შესაძლებელია, ეს რიცხვები ნატურალურ რიცხვებთან ერთი-ერთზე შესაბამისობით დალაგდეს. თავისთავად, "თვლადი უსასრულობა" პირდაპირი გაგებით იმას არ ნიშნავს, რომ დათვლის გზით ოდესმე "სულ ბოლო" რიცხვს ვიპოვით.

არსებობს უთვლადი უსასრულო სიმრავლეებიც — მათ წევრებს ნატურალურ რიცხვებს ერთი-ერთზე პრინციპით ვერ შევუსაბამებთ. ამის ყველაზე აშკარა მაგალითი ნამდვილ რიცხვთა სიმრავლეა: რა მოდის 0-ის შემდეგ? 1? 0,1? 0,000001? ზუსტად დადგენის გზა არ არსებობს, რადგან ყოველთვის შეგვიძლია, 0-თან კიდევ უფრო მეტად მიახლოებული ათწილადი ვიპოვოთ.

შედეგად გამოდის, რომ უთვლადი უსასრულო სიმრავლეები თვლად უსასრულო სიმრავლეებზე უსასრულოდ დიდია.

ახლა წარმოიდგინეთ სფერო, რომელიც სრულყოფილად მყარია. ეს ნიშნავს, რომ მასზე და მასში არსებული ყველა წერტილი ერთმანეთთან იმდენად უსასრულოდ ახლოსაა, რომ შეუძლებელია მათ შორის სადმე ღრმულიც იყოს. თუ სიმრავლეთა თეორიიდან ზემოთ მოყვანილ არგუმენტებს გამოვიყენებთ, ეს სფერო შეგვიძლია დაუთვლელად უსასრულო რაოდენობის თვლად უსასრულო სიმრავლეებად დავშალოთ. მარტივია, არა?

რა პრინციპით შეიქმნებოდა არაფრისგან რაღაც?
სფეროს გასაყოფად ჯერ 1 ნებისმიერი წერტილი უნდა ამოვარჩიოთ, შემდეგ — 2 ნებისმიერი კუთხე, მთავარია ეს კუთხეები ირაციონალური იყოს: ერთი ჩრდილოეთით და სამხრეთით ბრუნვისთვის, მეორე — აღმოსავლეთ-დასავლეთისთვის.

ამის შემდეგ ერთი ნებისმიერი მიმართულება უნდა ავირჩიოთ და სფეროც შესაბამისად დავატრიალოთ. ეს ნაბიჯი შეგვიძლია უსასრულოდ გავიმეოროთ, მხოლოდ ერთი შეზღუდვით: ამჟამინდელის წინა ნაბიჯს არ უნდა მივუბრუნდეთ. მაგალითად, ჩრდილოეთიდან ეგრევე სამხრეთით არ უნდა დავბრუნდეთ.

მას შემდეგ, რაც ამ ყველაფერს უსასრულოდ გავაკეთებთ, მივიღებთ სიმრავლეს, რომელსაც ამდენივე წერტილი აქვს (რადგან ირაციონალური კუთხეები ავირჩიეთ, ბრუნვის შემდეგ სფერო ყოველ წერტილში მხოლოდ ერთხელ დადგება). შესაბამისად, თუ ამას უსასრულოდ გავიმეორებთ, სწორედაც რომ უსასრულო რაოდენობის თვლად უსასრულო სიმრავლეებს მივიღებთ.

შემდეგი საფეხური ამ წერტილების 6 კატეგორიად დაყოფაა: ჩრდილოეთით დატრიალების შედეგად მიღებული წერტილები, სამხრეთით დატრიალების შედეგად მიღებული წერტილები, აღმოსავლეთით და დასავლეთით დატრიალების შედეგად მიღებული წერტილები, საწყისი, ცენტრალური და პოლარული წერტილები... ნახეთ სრულად